회로이론 기초 10 - 델타와이 변환, Y-Δ 변환
이번엔 델타와이 변환 (Y-Δ 변환) 에 대해 알아보겠습니다.
델타와이 변환은 Y와Δ 모양처럼 직, 병렬 연결이 아닌 경우
쉽게 회로 해석을 하기위한 방법입니다.
1. 기본
우측 델타(Δ)모양에서 좌측 와이(Y)모양으로의 변환 식
$$ R_{1} = \frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}} $$
$$ R_{2} = \frac{R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}} $$
$$ R_{3} = \frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}} $$
좌측 와이(Y)모양에서 우측 델타(Δ)모양으로의 변환 식
$$ R_{a} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}} $$
$$ R_{b} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}} $$
$$ R_{c} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}} $$
2. 문제풀이
[EX1]
먼저 회로의 모양이 와이(Y)모양을 델타(Δ)모양으로 변환하므로 아래의 식을 사용한다.
$$ R_{a} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}} $$
$$ R_{b} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}} $$
$$ R_{c} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}} $$
값을 대입하면
$$ R_{1} = 20, R_{2} = 5, R_{3} = 10 $$
이므로
$$ R_{a} = \frac{20\times5+5\times10+10\times20}{20} = 17.5 $$
$$ R_{b} = \frac{20\times5+5\times10+10\times20}{5} = 70 $$
$$ R_{c} = \frac{20\times5+5\times10+10\times20}{10} = 35 $$
임을 알 수 있습니다.
[EX2]
위 회로에서 Vx를 구할 수 있는 방법은 많지만
마디전압법을 사용할 경우 여러개의 미지수로 이루어진 연립방정식을 풀어야 한다.
그래서 위 회로에선 델타와이 변환법을 사용하는데,
빨간 네모칸 내부의 회로가 Y모양의 회로를 가지고 있어
와이(Y)모양을 델타(Δ)모양으로 변환하므로 아래의 식을 사용한다.
$$ R_{a} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}} $$
$$ R_{b} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}} $$
$$ R_{c} = \frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}} $$
변환식을 사용하면 빨간 네모칸 내부에 델타(Δ)모양의 회로가 만들어지는데
위의 회로가 만들어지는데 보기좋게 회로를 다시그리면
이렇게 표헌할 수 있다.
위 회로에선 28Ω과 70Ω 그리고 17.5Ω과 105Ω가
각각 서로 같은 마디를 가지고 있으니 저항을 병렬로 계산할 수 있어
이렇게 식을 단순화할 수 있다.
이 식에서 마디 전압법을 사용하여 Vx를 구할 수 있다 (생략)
Vx = 35V