신호 및 시스템 10 - 푸리에 급수와 푸리에 계수
1. 푸리에 급수
푸리에 급수는 주기 신호를 여러개의 정현파로 표현한 것 입니다.
$$ x(t)=직류 (DC)+기본파(sin+cos)+고조파들(sin+cos) $$
$$ = a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}cos (k w_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}sin(k w_{0}t) $$
$$ [a_{0}= DC \ 성분] $$
$$ [a,b= 기본파 \ 성분 \ 계수] $$
$$ [a_{k},b_{k}= 고조파 \ 성분 \ 계수] $$
- 푸리에 급수의 수렴 조건 (디리클레(Dirichlet) 조건) -
$$ 1. \int_{T}^{} | x(t) |dt<\infty $$
2. 한주기 내에 유한개의 극대점, 극소점
3. 한주기 내에 유한개의 불연속점
2. 함수의 내적과 직교
함수의 내적
$$ <f(t),g(t)>= \int_a^b f(t) . g^{*}(t) dt $$
함수의 직교
$$ <f(t),g(t)>= 0 $$
3. 복소 지수함수 푸리에 급수
$$ x(t)= a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}( a_{k}cos (k w_{0}t)+ b_{k}sin(k w_{0}t)) $$
$$ = a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}( a_{k} \frac{e^{jkw_{0}t}+e^{-jkw_{0}t}}{2} + b_{k}\frac{e^{jkw_{0}t}-e^{-jkw_{0}t}}{2j}) $$
$$ = a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}( \frac{a_{k}-jb_{k}}{2}e^{jkw_{0}t}+\frac{a_{k}+jb_{k}}{2}e^{-jkw_{0}t} ) $$
$$ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_{k}e^{jkw_{0}t} \ 이므로 $$
$$ \therefore X_{k}=\begin{cases} \frac{1}{2}(a_{k}-jb_{k}) & k > 0\\a_{0} & k=0\\ \frac{1}{2}(a_{k}+jb_{k})&k<0\end{cases} $$
※ 오일러 공식 ※
$$ cos \theta = \frac{e^{j \theta}+e^{-j \theta }}{2} $$
$$ sin\theta = \frac{e^{j \theta}-e^{-j \theta }}{2j} $$
4. 지수함수의 푸리에 계수
$$ \int_{0}^{T} e^{jkw_{0}t}e^{-jmw_{0}t} dt=\int_{0}^{T} e^{j(k-m)w_{0}t} dt 이고$$
$$ m \neq k:\int_{0}^{T} e^{j(k-m)w_{0}t} dt=0 $$
$$ m = k:\int_{0}^{T} e^{j(k-m)w_{0}t} dt=T 이므로$$
$$ \therefore X_{m}(=m차 \ 고조파 \ 계수)= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jmw_{0}t}dt $$
5. 삼각함수의 푸리에 계수
$$ \int_T^{}x(t)dt= \int_T^{} a_{0}dt+\int_T^{}(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}cos (k w_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}sin(k w_{0}t))dt $$
$$ = \int_{T}^{} a_{0}dt=a_{0}T \ 이므로 $$
$$ \therefore a_{0}= \frac{1}{T} \int_{T}^{} x(t)dt $$
$$ \int_{T}^{} x(t)coskw_{0}tdt $$
$$ = \int_{T}^{}a_{0}coskw_{0}tdt+\int_{T}^{}( \sum_{m=1}^{\infty} a_{m}cosmw_{0}t \ coskw_{0}t )dt+\int_{T}^{}( \sum_{m=1}^{\infty} b_{m}sinmw_{0}t \ coskw_{0}t )dt = \frac{T}{2}a_{k} 이므로 $$
$$ \therefore a_{k}= \frac{2}{T} \int_{T}^{} x(t) coskw_{0}t \ dt $$
$$ \int_{T}^{} x(t)sinkw_{0}tdt $$
$$ = \int_{T}^{}a_{0}sinkw_{0}tdt+\int_{T}^{}( \sum_{m=1}^{\infty} a_{m}cosmw_{0}t \ sinkw_{0}t )dt+\int_{T}^{}( \sum_{m=1}^{\infty} b_{m}sinmw_{0}t \ sinkw_{0}t )dt = \frac{T}{2}b_{k} 이므로 $$
$$ \therefore b_{k}= \frac{2}{T} \int_{T}^{} x(t) sinkw_{0}t \ dt $$
6. 주기 신호 푸리에 급수 문제풀이 예시
$$ x(t)=1+4cos(\pi t - \frac{\pi}{4} )-2sin(2\pi t)+cos(3\pi t + \frac{\pi}{3}) $$
위 주기 신호에 대해 푸리에 급수 표현과 스펙트럼을 그리세요.
먼저 오일러 공식을 사용하여 식을 새로 표현합니다.
※ 오일러 공식 ※
$$ cos \theta = \frac{e^{j \theta}+e^{-j \theta }}{2} $$
$$ sin\theta = \frac{e^{j \theta}-e^{-j \theta }}{2j} $$
| $$ 4cos(\pi t - \frac{\pi}{4} )=4\ .\ \frac{ e^{(j\pi t - j\frac{\pi}{4})}+e^{(-j\pi t + j\frac{\pi}{4})} } {2} $$ |
| $$ 2sin(2\pi t)=2cos(2 \pi t- \frac{\pi}{2} )= 2\ .\ \frac{e^{(j2\pi t- j\frac{\pi}{2})}+e^{(-j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}}{2} \ 에서 $$ $$ 본 \ 식에 \ 있는 \ 마이너스를 \ 고려해 \ 줘야 \ 하는데 $$ $$ (-1)=e^{ \pm j \pi} \ 이고 $$ $$ 위상은 \ - \pi \ 에서 \pi \ 값을 \ 사용하기 \ 때문에 \ $$ $$ -2sin(2\pi t)= e^{ \pm j \pi} \times 2\ .\ \frac{e^{(j2\pi t- j\frac{\pi}{2})}+e^{(-j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}}{2} \ 에서 $$ $$ e^{(j2\pi t- j\frac{\pi}{2})} \ 에는 \ e^{ + j \pi} \ 를 \ 곱해주고. $$ $$ e^{(-j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}에는 \ e^{ - j \pi} \ 를 \ 곱해줍니다. $$ $$ \therefore -2sin(2\pi t)= 2 \ .\frac{ e^{(j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}+e^{(-j2\pi t- j\frac{\pi}{2})}} {2} $$ |
| $$ cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})=\frac{ e^{(j3\pi t+ j\frac{\pi}{3})}+e^{(-j3\pi t- j\frac{\pi}{3})}} {2} $$ |
$$ x(t)=1+4\ .\ \frac{ e^{(j\pi t - j\frac{\pi}{4})}+e^{(-j\pi t + j\frac{\pi}{4})} } {2} -2 \ .\frac{ e^{(j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}+e^{(-j2\pi t- j\frac{\pi}{2})}} {2}+\frac{ e^{(j3\pi t+ j\frac{\pi}{3})}+e^{(-j3\pi t- j\frac{\pi}{3})}} {2} $$
$$ =1+2e^{(j\pi t - j\frac{\pi}{4})}+2e^{(-j\pi t + j\frac{\pi}{4})} - e^{(j2\pi t+ j\frac{\pi}{2})}-e^{(-j2\pi t- j\frac{\pi}{2})}+ \frac{1}{2} e^{(j3\pi t+ j\frac{\pi}{3})}+\frac{1}{2}e^{(-j3\pi t- j\frac{\pi}{3})} $$
$$ w_{0} = 2 \pi f_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0}} $$
위 문제에서
$$ w_{0}= \pi \ 이므로 $$
$$ x(t)=1+2e^{(j w_{0} t - j\frac{\pi}{4})}+2e^{(-jw_{0} t + j\frac{\pi}{4})} - e^{(j2w_{0} t+ j\frac{\pi}{2})}-e^{(-j2w_{0} t- j\frac{\pi}{2})}+ \frac{1}{2} e^{(j3w_{0} t+ j\frac{\pi}{3})}+\frac{1}{2}e^{(-j3w_{0} t- j\frac{\pi}{3})} $$
그러므로
$$ X_{0} = 1 $$
$$ X_{1} =2e^{- j\frac{\pi}{4}} \ , \ X_{-1} =2e^{ j\frac{\pi}{4}} $$
$$ X_{2} =e^{ j\frac{\pi}{2}} \ , \ X_{-2} =e^{- j\frac{\pi}{2}} $$
$$ X_{3} = \frac{1}{2} e^{ j\frac{\pi}{3}} \ , \ X_{-3} = \frac{1}{2} e^{- j\frac{\pi}{3}} $$
$$ 그 \ 외 \ X_{k} = 0 $$
7. 주기 신호 푸리에 급수 직관적 문제풀이
$$ k>0 \ 일때 $$
$$ | X_{k} | =정현파 \ 진폭의 \ \frac{1}{2} $$
$$ \angle X_{k} =cos의 \ 위상 = sin의 \ 위상 \ - \frac{\pi}{2} $$
$$ X_{k}=X^{*}_{-k} $$
$$ x(t)=1+4cos(\pi t - \frac{\pi}{4} )-2sin(2\pi t)+cos(3\pi t + \frac{\pi}{3}) $$
에서 바로
$$ w_{0} = \pi $$
$$ X_{0} = 1 $$
$$ X_{1} =2e^{- j\frac{\pi}{4}} \ \longrightarrow \ X_{-1} =2e^{ j\frac{\pi}{4}} $$
$$ X_{2} =1 \ . \ e^{ - j\frac{\pi}{2}}\ . \ e^{j \pi} \ \longrightarrow \ X_{-2} =1 \ . \ e^{ j\frac{\pi}{2}}\ . \ e^{-j \pi} $$
$$ X_{3} = \frac{1}{2} e^{ j\frac{\pi}{3}} \ \longrightarrow \ X_{-3} = \frac{1}{2} e^{- j\frac{\pi}{3}} $$
$$ 그 \ 외 \ X_{k} = 0 $$