신호 및 시스템 13 - 주파수 분석과 주파수 합성
1. 주파수 분석
시간 신호로 부터 스펙트럼을 구하는 과정
(디리클레 조건을 만족하는 신호)
$$ X_{k}= \frac{1}{T} \int_{T}^{} x(t)e^{-jkw_{0}t}dt $$
$$ (위 \ 식에서 \ X_{k} \ : \ 주파수 \ 정보 \ , \ x(t) \ : \ 시간 \ 정보) $$
2. 주파수 분석 예시
위 임펄스열 주기 신호의 스펙트럼을 구하세요.
위 신호의 주기는 T 이므로
기본주파수
$$ w_{0} = \frac{2 \pi}{T} $$
이 됩니다.
이후 푸리에 계수를 구하면
$$ X_{k}= \frac{1}{T} \int_{T}^{} x(t)e^{-jkw_{0}t}dt $$
$$ = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)e^{-jkw_{0}t}dt $$
$$ = \frac{1}{T} \int_{T}^{} \delta (t)e^{-jkw_{0}t}dt $$
$$ = \frac{1}{T} $$
$$ \therefore \ X_{k} = \frac{1}{T} $$
이후 스펙트럼을 구하면
$$ x(t)= \sum_{k=- \infty}^{ \infty} X_{k} e^{jkw_{0}t} $$
$$ = \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \frac{1}{T} e^{jkw_{0}t} $$
$$ \therefore \ x(t) = \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \frac{1}{T} e^{jkw_{0}t} $$
$$ x(t) = \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \frac{1}{T} e^{jkw_{0}t} $$
3. 주파수 합성 (조파 합성)
스펙트럼으로 부터 주기신호를 복원하는 과정
$$ x(t)= \sum_{k=- \infty}^{ \infty} X_{k} e^{jkw_{0}t} $$
$$ (위 \ 식에서 \ x(t) \ : \ 시간 \ 정보 \ , \ X_{k} \ : \ 주파수 \ 정보 \ , \ ) $$
위 사진처럼 고조파의 개수가 늘어날 수록 신호가 근사화 되는 것을 볼 수 있습니다.
4. 주파수 합성 예시
주기신호 x(t)의 진폭과 위상 스펙트럼이 주어졌을때 주기신호 x(t)를 구하세요.
스펙트럼을 보고
진폭2 DC, 진폭2 기본파, 진폭1 제2고조파가 존재함을 알 수 있습니다.
$$ w_{0}=1 $$
$$ \mid X_{0} \mid =2 \ , \ \mid X_{1} \mid =2 \ , \ \mid X_{2} \mid =1 $$
$$ \angle X_{0} = 0 \ , \ \angle X_{1} = \frac{2 \pi}{3} \ , \ \angle X_{2} = \frac{ \pi}{3} $$
$$ 2\mid X_{1} \mid =4 \ , \ 2\mid X_{2} \mid =2 $$
이므로
$$ \therefore x(t) = 2+4cos(t+ \frac{2 \pi}{3} + 2cos(2t + \frac{ \pi}{3})) $$
5. 깁스 현상 (Gibbs Phenomenon)
푸리에 급수로 근사화 되어진 신호는 불연속점에서 불일치하게 되는데
이를 깁스 현상이라 합니다.
(깁스 현상은 불연속점 부근에서 불연속 크기의 약 9%의 오버슈트가 생깁니다.)
위로 튀는 현상을 오버슈트 (Over Shoot) 라고 하며
아래로 튀는 현상을 언더슈트 (Under Shoot) 라고 합니다.