신호 및 시스템 16 - 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환
1. 시간 영역에서 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환
$$ x(t) = \delta (t) \ 의 \ 푸리에 \ 변환을 \ 구하시오 $$
푸리에 변환을 사용하여 값을 얻을 수 있습니다.
$$ X(w) = F[ \delta (t)] $$
$$ =\int_{- \infty}^{\infty} \delta(t)e^{-jwt}dt=e^{-jw0}=1 $$
$$ \therefore \delta (t) \leftrightarrow 1 $$
2. 주파수 영역에서 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환
$$ X(w) = 2 \pi \ delta (w) \ 에 \ 대응되는 \ 시간 \ 신호를 \ 구하시오 $$
우선 위 신호는 주파수 영역에 임펄스 함수를 가지고 있으므로 전력신호라고 추측이 가능합니다.
이후 푸리에 역변환을 사용하여 값을 얻을 수 있습니다.
$$ x(t)=F^{-1}[x(t)] $$
$$ = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} 2 \pi \delta (w)e^{jwt}dw =e^{j0t}=1 $$
시간 영역에서 얻어진 값 1은 상수신호 (DC신호) 임을 다시 한번 확인 할 수 있습니다.
하지만 여기서 상수신호 1을 푸리에 변환을 사용하면
$$ X(w)=F[x(t)] $$
$$ = \int_{-\infty}^{\infty} 1 \ \cdot e^{-jwt} dt $$
$$ =\frac{1}{-jw}[e^{-jwt}]^{\infty}_{-\infty} $$
즉 유한한 값으로 수렴하지 않습니다.
그러므로
전력신호로 부터 직접적으로 푸리에 변환은 불가능 하지만
임펄스 함수로 부터 역변환이 상수가 나오는 특성을 통해
두 영역에서의 값이 푸리에 관계에 있다고 알 수 있습니다.