물리전자공학 16 - 온도와 페르미 레벨 (Fermi level)
1. 농도와 페르미 레벨
앞선 게시물을 통해 저희는
$$ n_{0} = N_{c} e^{ -\frac {E_{c}-E_{F}}{kT}} = n_{i} e^{ \frac {E_{F}-E_{i}}{kT}} $$
$$ p_{0} = N_{v} e^{ -\frac {E_{F}-E_{v}}{kT}} = n_{i} e^{ \frac {E_{i}-E_{F}}{kT}} $$
임을 알 수 있었습니다.
위 두 식을 변형시켜
$$ E_{c}-E_{F}=kTln( \frac{N_{c}}{n_{0}} ) $$
$$ E_{F}-E_{i}=kTln( \frac{n_{0}}{n_{i}} ) $$
$$ E_{F}-E_{v}=kTln( \frac{N_{v}}{p_{0}} ) $$
$$ E_{i}-E_{F}=kTln( \frac{p_{0}}{n_{i}} ) $$
를 도출 할 수 있습니다.
위 식에서 도핑을 하게 된다면
$$ n_{o}=N_{d}, \ p_{o}=N_{a} $$
가 되기 때문에 페르미 레벨을 역으로 알아낼 수 있습니다.
2. 온도에 따른 페르미 레벨
이전 게시물에서 간단히 보인 그래프를 통해
온도가 증가하면 진성 캐리어 농도가 증가하기 때문에
도핑 농도와 상관 없이 높은 고온에서는 진성 페르미 레벨 (Ei)로 동일해 집니다.
$$ 즉, \ E_{F}-E_{i}=kTln( \frac{n_{o}}{n_{i}} ) \ 에서 $$
$$ T \uparrow \longrightarrow n_{i} \uparrow \longrightarrow E_{F}-E_{i} \approx 0 $$
3. 페르미 레벨의 규칙
$$ 1. \ 열평형 \ 상태(Thermal \ equilibrium \ state)에서 \ n_{0}, \ p_{0} \ 일정 $$
$$ 2. \ Mass-action \ law, \ n_{0}p{0}=n_{i}^{2} $$
$$ 3. \ 전자와 \ 정공의 \ 움직임이 \ 없음 $$
열평형 상태에서 서로 다른 페르미 레벨을 가진 물질을 붙일 경우
EF는 균일해지며 전체 물질은 같은 페르미 레벨을 가집니다.
$$ \frac{dE_{F}}{dx}=0 $$