확률 및 랜덤 프로세스 3 - 신호 및 시스템 기본 2
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신호 및 시스템 기본 1
1. 선형 시스템과 비선형 시스템
선형 시스템 : 중첩의 원리가 성립하는 시스템
$$ f[ \alpha x_{1}(t) + \beta x_{2}(t) ] = \alpha y_{1}(t) + \beta y_{2}(t) $$
비선형 시스템 : 중첩의 원리가 성립하지 않는 시스템
(대부분의 시스템은 비선형 시스템)
2. 시불변 시스템과 시변 시스템
시불변 시스템 : 입출력 관계가 시간에 관계없이 항상 변하지 않는 시스템
$$ y(t- t_{0} ) = f[x(t-t_{0})] $$
3. 시불변 선형 시스템에서 입출력
연속시스템
$$ y(t) = h(t)*x(t) = \int_{- \infty }^{ \infty } h( \tau )x(t- \tau )d \tau = \int_{- \infty }^{ \infty } x( \tau )h(t- \tau )d \tau $$
[ 컨볼루션 (Convolution) ]
이산시스템
$$ y[n] = h[n]*x[n] = \sum_{k=- \infty }^ {\infty} h[k]x[n-k]= \sum_{k=- \infty }^ {\infty} x[k]h[n-k] $$
4. 푸리에 급수
[주기신호 -> 선스펙트럼]
$$ x(t) = \sum_{n=- \infty }^{ \infty } x_{n} e^{j2 \pi f_{0}t } $$
$$ f_{0} =1/ T_{0} $$
스펙트럼 성분
$$ x_{n} = \frac{1}{T} \int_{ \alpha }^{ \alpha + T_{0} } x(t)e^{-j2 \pi f_{0}t }dt $$
5. 푸리에 변환
[비주기신호 -> 연속스펙트럼]
$$ X(f) = \int_{- \infty }^{ \infty } x( \tau ) e^{-j2 \pi f \tau }d \tau $$
$$ x(t) = \int_{- \infty }^{ \infty } X(f) e^{j2 \pi f \tau }df $$
6. 함수의 푸리에 변환 예시
[rect 함수]
$$ rect(t)=\begin{cases}1 & -1/2 < t \leq 1/2\\0 & else \end{cases} $$
$$ rect(t) \longleftrightarrow sinc(f) $$
[임펄스 함수]
$$ 1 \longleftrightarrow \delta (f) $$
[지수 함수]
$$ e^{j2 \pi f_{0}t } = \delta (f- f_{0} ) $$
[cos 함수]
$$ cos(2 \pi f_{0}t ) \longleftrightarrow \frac{1}{2}[ \delta (f-f_{0})+ \delta (f+f_{0})] $$
7. 푸리에 변환 특성
[선형성]
$$ F[ \alpha x_{1}(t)+ \beta x_{2}(t) ]= \alpha F[x_{1}(t)]+ \beta F[ x_{2}(t) ] $$
[쌍대성]
$$ x(t) \longleftrightarrow X(f) $$
$$ X(t) \longleftrightarrow x(-f) $$
[시간 이동]
$$ F[x(t- t_{0} )]= e^{-j2 \pi f t_{0} } . X(f) $$
[비례 축소]
$$ F[x(at)]= \frac{1}{a} . X( \frac{f}{a} ) $$
[주파수 이동]
$$ F[ e^{j2 \pi f_{0}t }x(t) ] = X(f- f_{0} ) $$
$$ F[ x(t)cos(2 \pi f_{0}t ) ] = \frac{1}{2} [X(f- f_{0})+X(f+ f_{0})] $$
[미분]
$$ F[ \frac{ d^{n} }{dt^{n}}x(t) ]= (j2 \pi f)^{n} X(f) $$
[컨볼루션]
$$ F[x(t) \ast y(t)]=X(f)Y(f) $$
$$ F[x(t) . y(t)]=X(f) \ast Y(f) $$
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