회로이론 기초 10 - 델타와이 변환, Y-Δ 변환

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이번엔 델타와이 변환 (Y-Δ 변환) 에 대해 알아보겠습니다.

 

델타와이 변환은 Y와Δ 모양처럼 직, 병렬 연결이 아닌 경우

쉽게 회로 해석을 하기위한 방법입니다.

 

1. 기본

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우측 델타(Δ)모양에서 좌측 와이(Y)모양으로의 변환 식

$$R_1=\frac{R_b{R}_c}{R_a+R_b+R_c}$$

$$R_2=\frac{R_a{R}_c}{R_a+R_b+R_c}$$

$$R_3=\frac{R_a{R}_b}{R_a+R_b+R_c}$$

 

좌측 와이(Y)모양에서 우측 델타(Δ)모양으로의 변환 식

$$R_a=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}$$

$$R_b=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}$$

$$R_c=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}$$

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2. 문제풀이

 

[EX1]

왼쪽 회로를 오른쪽 회로로 바꾸며 저항값을 구하라.

먼저 회로의 모양이 와이(Y)모양을 델타(Δ)모양으로 변환하므로 아래의 식을 사용한다.

 

$$R_a=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}$$

$$R_b=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}$$

$$R_c=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}$$

 

값을 대입하면

$$R_1=20,R_2=5,R_3=10$$

이므로

 

$$R_a=\frac{20\times 5+5\times 10+10\times 20}{20}=17.5$$

$$R_b=\frac{20\times 5+5\times 10+10\times 20}{5}=70$$

$$R_c=\frac{20\times 5+5\times 10+10\times 20}{10}=35$$

임을 알 수 있습니다.

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[EX2]

위 회로에서 Vx를 구하시오.

위 회로에서 Vx를 구할 수 있는 방법은 많지만

 

마디전압법을 사용할 경우 여러개의 미지수로 이루어진 연립방정식을 풀어야 한다.

 

그래서 위 회로에선 델타와이 변환법을 사용하는데,

빨간 네모칸 내부의 회로가 Y모양의 회로를 가지고 있어

 

와이(Y)모양을 델타(Δ)모양으로 변환하므로 아래의 식을 사용한다.

$$R_a=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}$$

$$R_b=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}$$

$$R_c=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}$$

 

변환식을 사용하면 빨간 네모칸 내부에 델타(Δ)모양의 회로가 만들어지는데

 

위의 회로가 만들어지는데 보기좋게 회로를 다시그리면

이렇게 표헌할 수 있다.

 

위 회로에선 28Ω과 70Ω 그리고 17.5Ω과 105Ω가

 

각각 서로 같은 마디를 가지고 있으니 저항을 병렬로 계산할 수 있어

이렇게 식을 단순화할 수 있다.

 

이 식에서 마디 전압법을 사용하여 Vx를 구할 수 있다 (생략)

 

Vx = 35V