물리전자공학 7 - 유효 질량 (Effective mass)

 

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1. 유효 질량 (Effective mass)

 

물질 내부에서 전자가 힘을 받아 움직일 때 

 

전자에 가해지는 힘은 외부적인 힘과 내부적인 힘으로 나눌 수 있습니다.

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우선 기본적으로 힘은 질량과 가속도로 표현됩니다.

 

$$ F=m_{0}a $$

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이후 외부적인 힘 F_ext ( ex. 전기장 )와 

내부적인 힘 F_int ( ex. 전자와 원자핵과의 상호작용 )의 합으로 표현된다고 생각할 수 있습니다.

 

$$ F_{total}=F_{ext}+F_{int}=m_{0}a $$

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하지만 수많은 내부적인 힘을 고려하기 힘들기 때문에

 

내부적인 힘의 값을 질량에 반영한 것이 유효 질량 입니다.

 

$$ F_{ext}=m^{*}a $$

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즉 내부적인 힘 때문에 전자가 힘을 받아 빠르게 운동한다면

$$ m^{*}>m_{0} $$

 

내부적인 힘 때문에 전자가 힘을 받아 느리게 운동한다면 

$$ m^{*}>m_{0} $$

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2. 전자의 유효 질량

 

먼저 전자의 전체 에너지는 전자의 운동 에너지와 위치 에너지 합입니다.

 

$$ E(k)= \frac{\bar{h}^{2} k^{2} }{2 m_{n}^{*}} +E_{c} $$

 

위 식에서 E를 두번 미분 함으로써 전자와 정공의 유효질량을 구할 수 있습니다.

 

$$ \therefore m_{n}^{*} = \frac{\bar{h}^{2}}{d^{2}E/dk^{2}} $$

$$ \therefore m_{p}^{*} = - \frac{\bar{h}^{2}}{d^{2}E/dk^{2}} $$

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즉 E-k diagram에서 전도 대역(Conduction band)의 곡률이 높을수록 유효질량이 작습니다.