신호 및 시스템 14 - 주기 신호의 전력 (파스발의 정리) 푸리에 급수의 성질

 

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1. 주기신호의 전력 (파스발의 정리)

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시간 영역에서 신호 전력은 주파수 영역에서 신호전력과 같습니다.

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파스발의 정리

주기신호의 전력 = 각 고조파 성분 제곱의 합

$$ P= \frac{1}{T} \int_{T}^{}  \mid x(t) \mid ^{2}dt =  \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \mid X_{k} \mid ^{2}  $$

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전력 스펙트럼

$$ \mid X_{k} \mid ^{2} $$

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2. 주기신호의 전력 예시

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$$ x(t) = 5+10 \sqrt{2}cos(2 \pi t)+2 \sqrt{2} cos (4 \pi t)+ \sqrt{2}cos(6 \pi t) $$

신호의 전력을 구하세요.

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$$ X_{0}=5 \ , \ X_{1} = 5 \sqrt{2}  \ , \ X_{2} = \sqrt{2} \ , \ X_{3} = 0.5 \sqrt{2} $$

이고

$$ X_{-k}=X_{k} $$

입니다.

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$$ P=  \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \mid X_{k} \mid ^{2} $$

$$ = \sum_{k=- 3}^{ 3} \mid X_{k} \mid ^{2} $$

$$ = 5^{2}+2[(5 \sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(0.5\sqrt{2})^{2}] $$

$$ =130 $$

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3. 푸리에 급수의 성질

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선형성

$$  \alpha x(t)+ \beta y(t) \Leftrightarrow  \alpha X_{k}+ \beta Y_{k} $$

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진폭 이동

$$ x(t) + a  \Leftrightarrow  DC성분만 \ X_{0}+a \ , \ 나머지 \ 불변 $$

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시간 이동

$$ x(t-t_{0}) \Leftrightarrow e^{-jkw_{0}t_{0}}X_{k} $$

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시간 반전

$$ x(-t) \Leftrightarrow X_{-k} $$

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주기 변화

$$ T \rightarrow aT \ ,( a는 \ 정수) \ , \  \begin{cases}X_{k/a} & k/a= \ 정수 \\0 & 그 \ 외\end{cases}  $$

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주파수 이동

$$ e^{jk_{0}w_{0}t}x(t) \Leftrightarrow X_{k-k_{0}} $$

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시간 미분

$$  \frac{dx(t)}{dt}  \Leftrightarrow (jkw_{0})X_{k} $$

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시간 적분

$$  \int_{- \infty}^{t} x( \tau)d \tau  \Leftrightarrow \frac{1}{jkw_{0}}X_{k} \ , \ k \neq0 \ , \ if )X_{0}=0 $$

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주파수 컨벌루션

$$ x(t)y(t) \Leftrightarrow  \sum_{m=- \infty}^{\infty} X_{k-m} Y_{m} $$

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시간 컨벌루션

$$ x(t)\circledast y(t) \Leftrightarrow TX_{k}Y_{k} $$

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파스발의 정리

$$ \frac{1}{T} \int_{T}^{}  \mid x(t) \mid ^{2}dt =  \sum_{k=- \infty}^{ \infty} \mid X_{k} \mid ^{2} $$