신호 및 시스템 15 - 연속시간 푸리에 변환

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1. 푸리에 급수와 푸리에 변환

 

$$ 주기 \ 신호   \Leftarrow [푸리에 \ 급수] \Rightarrow  이산 \ 스펙트럼 $$

$$ 비주기 \ 신호   \Leftarrow [푸리에 \ 변환] \Rightarrow  연속 \ 스펙트럼 $$

 

※ 주기 신호를 이산 스펙트럼으로 변환하는 과정은 푸리에 변환으로도 가능합니다. ※

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2. 푸리에 변환

푸리에 변환은 비주기 신호에 대한 주파수 영역 표현입니다.

 

$$ x(t)= \lim_{T \rightarrow \infty} x_{T}(t) $$

위 식에서와 같이

비주기 신호를 주기가 무한대인 주기 신호로 취급하여 푸리에 급수를 확장 시킵니다.

변환한 스펙트럼의 간격이 점점 좁아지며 결론적으로 연속 스펙트럼이 도출 됩니다.

 

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푸리에 변환 (FT)

$$ X(w)=F[x(t)]= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt} dt $$

시간 신호로 주파수 스펙트럼을 구합니다.

 

 

푸리에 역변환 (IFT)

$$ x(t)=F^{-1}[X(w)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(w)e^{jwt} dw $$

주파수 스펙트럼으로 시간 신호를 구합니다.

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스펙트럼

 

$$ X(w)= \mid X(w) \mid e^{j \angle X(w)} $$

주파수에 대한 연속 함수

 

$$ \mid X(w) \mid \ : \ 진폭 \ 스펙트럼 $$

$$ \angle X(w) \ : \ 위상 \ 스펙트럼 $$

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3. 주파수 단위에서의 푸리에 변환

 

위 푸리에 변환과 푸리에 역변환에서

$$ w=2 \pi f $$

임을 사용하여 Hz 단위 주파수로의 푸리에 변환식을 다른 방식으로 도출 할 수 있다.

 

푸리에 변환 (FT)

$$ X(f)=F[x(t)]= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j 2 \pi f t} dt $$

 

 

푸리에 역변환 (IFT)

$$ x(t)=F^{-1}[X(f)]= \int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{j 2 \pi f t} df $$

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4. 푸리에 변환의 수렴조건 (디리클레 조건)

 

$$ 1. \ \int_{-\infty}^{\infty} | x(t) |dt< \infty  $$

2. 유한시간 구간 내에서 유한개의 극대점과 극소점

3. 유한시간 구간 내에서 유한개의 불연속점

 

※ 기존 디리클레 조건에서는 한주기 내에서의 적분이 유한해야 하지만 

푸리에 변환은 비주기 신호 대상이므로 주기성이 삭제됩니다. ※

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5. 에너지 신호와 전력 신호의 푸리에 변환

 

에너지 신호는 푸리에 변환의 수렴 조건을 만족하지만

전력 신호는 푸리에 변환 수렴 조건을 만족하지 않습니다.

 

하지만 전력 신호는 푸리에 변환이 없지만 존재하는 것으로 취급합니다.

 

이를 가정하여 계산을 하면

 전력 신호의 푸리에 변환은 임펄스 함수를 포함합니다.