신호 및 시스템 18 - 푸리에 변환의 성질 1

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1. 시간 - 주파수 쌍대성 (Duality)

 

$$ x(t) \Leftrightarrow X(w) $$

$$ X(t) \Leftrightarrow 2 \pi x (-w) $$

 

※ 영역을 바꿔도 w, t 의 짝은 유지 ※

 

※ 주기 ↔ 이산 , 비주기 ↔ 연속 ※

이므로

※ 푸리에 급수 : 연속 주기 ↔ 이산 비주기 ※

※ 푸리에 변환 : 연속 비주기 ↔ 연속 비주기 ※

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2. 선형성

 

$$ x_{1}(t) \Leftrightarrow X_{1}(t) \ , \ x_{2}(t) \Leftrightarrow X_{2}(t) \ 일 \ 때, $$

$$  \alpha x_{1}(t)+ \beta  x_{2}(t) \Leftrightarrow  \alpha X_{1}(w)+ \beta  X_{2}(w)  $$

 

※ 두신호의 선형 합 푸리에 변환은 각각 푸리에 변환의 선형 합 ※

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3. 대칭성

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실수 신호의 푸리에 변환은 공액 대칭

 

$$ X(w)=X^{*}(-w) \ / \ X^{*}(w)=X(-w) \ , \ x(t) \ 는 \ 실수 $$

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실수부, 허수부 관점 대칭성

$$ Re[X(w)]=Re[X(-w)] \ , \ x(t) \ 는 \ 실수  $$

$$ Im[X(w)]=-Im[X(-w)] \ , \ x(t) \ 는 \ 실수  $$

 

※ 실수부는 우대칭, 허수부는 기대칭 ※

 

※ x(t)가 우대칭이면 X(w)도 우대칭 ※

※ x(t)가 기대칭이면 X(w)도 기대칭 ※

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진폭, 위상 스펙트럼 관점 대칭성

$$  | X(w) |=  | X(-w) | \ , \ x(t) \ 는 \ 실수  $$

$$ \angle X(w)=- \angle X(-w) \ , \ x(t) \ 는 \ 실수  $$

 

※ 진폭 스펙트럼은 우대칭, 위상 스펙트럼은 기대칭 ※

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4. 시간 반전

 

$$ x(-t) \Leftrightarrow X(-w) $$

 

※ 시간축을 뒤집으면 주파수축 또한 뒤집힙니다. ※

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5. 시간 척도 조절

 

$$ x(at) \Leftrightarrow  \frac{1}{ | a | } X( \frac{w}{a}) $$

 

※ 시간영역 압축 -> 주파수영역 늘어남 ※

※ 시간영역 늘어남 -> 주파수영역 압축 ※

 

※ 전력신호의 푸리에 변환은 임펄스가 나오는 것으로 이해하면 편합니다. ※

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6. 시간 이동

 

$$ x(t-t_{0}) \Leftrightarrow e^{-jt_{0}w}X(w) $$

 

※ 위상 스펙트럼만 변화하는 것을 알 수 있습니다. ※

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7. 주파수 이동

 

$$ x(t)e^{jw_{0}t} \Leftrightarrow X(w-w_{0}) $$

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신호 및 시스템 19 - 푸리에 변환의 성질 2

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