물리전자공학 10 - 페르미 - 디랙 분포, 페르미 레벨, 볼츠만 근사, 열평형 상태, 열적평형상태

 

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1. 전자와 정공의 농도

이전 게시물에서 설명했던 부분을 복습하고 넘어가겠습니다.

 

드리프트 전류를 구하기 위해서는 전자와 정공의 농도를 알아야 합니다.

 

전자의 농도

$$  n= \int_{E_{c}}^{CB,end} g_{c}(E)f(E)dE  $$

 

정공의 농도

$$  p = \int_{{VB,end}}^{E_{v}} g_{v}(E)(1-f(E))dE  $$

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위 식처럼 각 캐리어의 농도에 사용되는 식은 g(E)와 f(E)가 있습니다.

 

여기서 g(E)는 허용되는 에너지 상태의 밀도를 나타내는 상태밀도함수이고

 

f(E)는 에너지가 채워질 확률을 뜻하는 확률분포함수 입니다.

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2. 페르미 - 디랙 분포 (Fermi - Dirac distribution)

 

페르미 - 디랙 분포(Fermi - Dirac distribution)는

 

각 캐리어의 농도를 구할 때 사용되는 확률분포함수 중 하나입니다.

 

전자는 페르미 - 디랙 분포를 따라서 에너지 상태를 채우고 빠집니다.

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3. 페르미 - 디랙 함수 (Fermi - Dirac function)

 

$$ f(E)= \frac{1}{1+e^{(E-E_{F})/kT}} $$

 

전자가 상태를 채울 확률

 

Fermi - Dirac function

$$ E_{F} \ : \ 페르미 \ 레벨 \ (Fermi \ level) \ (or \ 페르미 \ 에너지)$$

 

$$ k \ : \ 볼츠만 \ 상수 \ (Boltzmann \ constant) $$

 

 

+

전자가 상태에 비어있을 확률 (=정공이 채워질 확률)

$$ $$ 1- f(E)= \frac{1}{1+e^{(E_{F}-E)/kT}} $$ $$

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- 에너지에 따른 페르미 - 디랙 함수 -

 

에너지가 매우 작으면 페르미-디랙 함수값이 1에 근사하고 (전자가 대부분 채워짐)

 

에너지가 매우 크면 페르미-디랙 함수값이 0에 근사합니다. (전자가 대부분 채워지지 않음)

 

페르미 레벨(Fermi level)은 페르미-디랙 함수값이 1/2이 되는 지점입니다.

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- 온도에 따른 페르미 - 디랙 함수 -

온도가 0 일때 페르미-디랙 함수 값은 페르미 레벨에서 급격하게 바뀌고

 

온도가 0 이상으로 점점 커지면 페르미-디랙 함수 값은 완만하게 바뀝니다.

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위 그림은 각각 다른 페르미 레벨을 표현하는 다이어그램입니다.

 

(1)   f(E_F) = 1/2에서는 페르미 레벨에서 전자가 존재할 확률이 1/2이 됩니다.

 

 

(2)   f(E_F) > 1/2 에서는 페르미 레벨이 높아졌으므로 E_c 위,

 

즉 전도 대역(Conduction band)에서 전자가 존재할 확률이 증가합니다.

 

 

(3)   f(E_F) < 1/2 에서는 페르미 레벨이 낮아졌으므로 E_c 위,

 

즉 전도 대역(Conduction band)에서 전자가 존재할 확률이 감소합니다.

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3. 볼츠만 근사 (Boltzmann approximation)

위에서 설명했던 것 처럼 캐리어의 농도를 계산할 때 적분을 사용해야 합니다.

 

하지만 페르미 - 디랙 함수가 적분하기 어려운 식이기 때문에

 

$$ 만약 \ (E-E_{F}) \gg kT $$

 

일 경우 페르미 - 디랙 함수 분모에 있는 1을 무시 할 수 있습니다.

 

$$ \therefore f(E)= \frac{1}{1+e^{(E-E_{F})/kT}} $$

$$  \approx \frac{1}{e^{(E-E_{F})/kT}} $$

$$  \approx e^{-(E-E_{F})/kT} $$

 

 

즉 에너지가 큰 상황에서만 볼츠만 근사를 사용할 수 있습니다.

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4. 열평형 상태 (Thermal equilibrium state)

열평형 상태 (열적평형상태)는

 

전기장, 자기장, 물리적인 힘, 빛이나 방사능의 개입이 없는 상황에서

 

온도(열적 에너지)만 일정하게 유지되며 가해지고 있는 상황입니다.

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가전자 대역(Valence band)에 있는 전자가 전도 대역(Conduction band) 으로 올라가

 

각 대역에 전자와 정공이 생기는 활동을 generation,

 

 

전도 대역(Conduction band)에 있는 전자가 가전자 대역(Valence band)에 있는 정공을 채워

 

각 대역에 전자와 정공이 사라지는 활동을 recombination 이라 합니다.

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열적 평형 상태에서는 이러한 generation과 recombination이 정확하게 균형을 맞춰

 

외부에서 보았을 때 전자와 정공의 농도가 변하지 않는 것 처럼 보입니다.

 

 

$$ 열평형 \ 상태에서 \ 전자의 \ 농도 \ : \ n_{0} $$

 

$$ 열평형 \ 상태에서 \ 정공의 \ 농도 \ : \ p_{0} $$