물리전자공학 11 - 열평형 상태에서 캐리어의 농도, n형 반도체, p형 반도체

 

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1. 열평형 상태에서 캐리어의 농도

 

먼저 전자와 정공의 농도를 두 식의 적분으로 표현합니다.

 

$$ 전자의 \ 농도 \ n_{0} = \int_{E_{c}}^{CB,end} g_{c} (E)f(E)dE $$

 

$$ 정공의 \ 농도 \ p_{0} = \int_{VB,end}^{E_{v}} g_{v} (E)(1-f(E))dE $$

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각 캐리어의 농도 식에 필요한 식인 상태밀도 함수와 확률분포 함수 (페르미-디랙 함수) 를 대입합니다.

 

$$ g_{c}(E)= \frac{4 \pi}{h^{3}} (2m_{n}^{*})^{3/2} \sqrt{(E-E_{c})} $$

 

$$ g_{v}(E)= \frac{4 \pi}{h^{3}} (2m_{p}^{*})^{3/2} \sqrt{(E_{v}-E)} $$

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적분을 계산하여 열적평형 상태 에서 전자와 정공의 농도를 도출할 수 있습니다.

 

$$ \therefore n_{0} = N_{c} e^{ -\frac {E_{c}-E_{F}}{kT}} $$

$$ \therefore p_{0} = N_{v} e^{ -\frac {E_{F}-E_{v}}{kT}} $$

 

$$ N_{c}=2 \big( \frac{2 \pi m_{n}^{*}kT}{h^{2}} \big)^{3/2}  $$

$$ N_{v}=2 \big( \frac{2 \pi m_{p}^{*}kT}{h^{2}} \big)^{3/2}  $$

 

식을 보고 페르미 레벨(EF)을 보고 각 캐리어의 농도를 파악할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

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※ 적분 시 페르미-디랙 함수는 볼츠만 근사를 사용하여 계산하기 때문에

$$ E-E_{F} \gg kT $$

의 상황에서만 사용 가능합니다. ※

 

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2. n형 반도체와 p형 반도체

 

위에서 도출한 각 캐리어의 농도식을 보고 도출할 수 있습니다.

 

$$ (E_{c} - E_{F}) \downarrow   \longrightarrow  n_{0}  \uparrow \longrightarrow n_{0} >p_{0}$$

$$  \longrightarrow n형 \ 반도체 \ (n-type) $$

 

$$ (E_{F} - E_{v}) \downarrow   \longrightarrow  p_{0}  \uparrow \longrightarrow n_{0} $$

$$ \longrightarrow p형 \ 반도체 \ (p-type) $$

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n형 반도체 (n-type semiconductor)

n0 > p0

다수 캐리어 (Majority carrier) : 전자

소수 캐리어 (Minority carrier) : 정공

 

p형 반도체 (p-type semiconductor)

n0 < p0

다수 캐리어 (Majority carrier) : 정공

소수 캐리어 (Minority carrier) : 전자