푸리에 변환 (8) 썸네일형 리스트형 신호 및 시스템 18 - 푸리에 변환의 성질 1 1. 시간 - 주파수 쌍대성 (Duality) $$ x(t) \Leftrightarrow X(w) $$ $$ X(t) \Leftrightarrow 2 \pi x (-w) $$ ※ 영역을 바꿔도 w, t 의 짝은 유지 ※ ※ 주기 ↔ 이산 , 비주기 ↔ 연속 ※ 이므로 ※ 푸리에 급수 : 연속 주기 ↔ 이산 비주기 ※ ※ 푸리에 변환 : 연속 비주기 ↔ 연속 비주기 ※ 2. 선형성 $$ x_{1}(t) \Leftrightarrow X_{1}(t) \ , \ x_{2}(t) \Leftrightarrow X_{2}(t) \ 일 \ 때, $$ $$ \alpha x_{1}(t)+ \beta x_{2}(t) \Leftrightarrow \alpha X_{1}(w)+ \beta X_{2}(w) $$ ※ 두신호의 선형.. 신호 및 시스템 17 - 주요 신호의 푸리에 변환 1. 임펄스 신호 $$ \delta (t) \Leftrightarrow 1 $$ 2. 상수 신호 (DC 신호, 전력 신호) $$ 1 \Leftrightarrow 2 \pi \delta(w) $$ 3. 구형파 신호 (사각 펄스) $$ rect(\frac{t}{2 \tau}) =\begin{cases}1 & \mid t \mid 신호 및 시스템 16 - 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환 1. 시간 영역에서 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환 $$ x(t) = \delta (t) \ 의 \ 푸리에 \ 변환을 \ 구하시오 $$ 푸리에 변환을 사용하여 값을 얻을 수 있습니다. $$ X(w) = F[ \delta (t)] $$ $$ =\int_{- \infty}^{\infty} \delta(t)e^{-jwt}dt=e^{-jw0}=1 $$ $$ \therefore \delta (t) \leftrightarrow 1 $$ 2. 주파수 영역에서 임펄스로 표현되는 신호의 푸리에 변환 $$ X(w) = 2 \pi \ delta (w) \ 에 \ 대응되는 \ 시간 \ 신호를 \ 구하시오 $$ 우선 위 신호는 주파수 영역에 임펄스 함수를 가지고 있으므로 전력신호라고 추측이 가능합니다. 이후 푸리에 역변환.. 신호 및 시스템 15 - 연속시간 푸리에 변환 1. 푸리에 급수와 푸리에 변환 $$ 주기 \ 신호 \Leftarrow [푸리에 \ 급수] \Rightarrow 이산 \ 스펙트럼 $$ $$ 비주기 \ 신호 \Leftarrow [푸리에 \ 변환] \Rightarrow 연속 \ 스펙트럼 $$ ※ 주기 신호를 이산 스펙트럼으로 변환하는 과정은 푸리에 변환으로도 가능합니다. ※ 2. 푸리에 변환 푸리에 변환은 비주기 신호에 대한 주파수 영역 표현입니다. $$ x(t)= \lim_{T \rightarrow \infty} x_{T}(t) $$ 위 식에서와 같이 비주기 신호를 주기가 무한대인 주기 신호로 취급하여 푸리에 급수를 확장 시킵니다. 변환한 스펙트럼의 간격이 점점 좁아지며 결론적으로 연속 스펙트럼이 도출 됩니다. 푸리에 변환 (FT) $$ X(w)=F[x.. 신호 및 시스템 12 - 주요 주기 신호의 푸리에 급수 1. 주요 주기 신호의 푸리에 급수 1) 방형파 $$ X_{k} =\begin{cases} 0 & k = 0 \ , \ k=짝수\\ -j \frac{2A}{k \pi} & k \neq 0 \end{cases} $$ 2) 톱니파 $$ X_{k} =\begin{cases} \frac{A}{2} & k = 0 \\ j \frac{A}{2k \pi} & k \neq 0 \end{cases} $$ 3) 삼각파 $$ X_{k} =\begin{cases} \frac{A}{2} & k = 0 \ \\ - \frac{2A}{k^{2} \pi ^{2}} & k \neq 0\\0& k= 짝수 \end{cases} $$ 4) 전파 정류파 $$ X_{k} =\begin{cases} \frac{2A}{\pi} & k = 0 \ .. 신호 및 시스템 11 - 푸리에 급수, 계수, 스펙트럼으로 주기신호 구하기 1. 푸리에 급수로 표현된 주기신호 구하기 문제풀이 예시 $$ x(t)=(2+2j)e^{-j3t}+j2e^{-jt}+3-j2e^{jt}+(2-j2)e^{j3t} $$ 주기 신호를 구하세요. $$ 각 \ 항을 \ 통해 \ w_{0}=1 임을 알 수 있습니다. $$ 식을 보고 바로 푸리에 계수를 알 수 있습니다. $$ X_{-3} = 2+j2 $$ $$ X_{-1} = j2 $$ $$ X_{0} = 3 $$ $$ X_{1} = -j2 $$ $$ X_{3} = -2-j2 $$ $$ a + jb = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \ e^{j \ tan^{-1} \ \frac{b}{a}} $$ 이므로 푸리에 계수는 $$ X_{-3} = 2+j2 = 2 \sqrt{2} e^{j \frac{\pi}{4}} $$ .. 신호 및 시스템 10 - 푸리에 급수와 푸리에 계수 1. 푸리에 급수 푸리에 급수는 주기 신호를 여러개의 정현파로 표현한 것 입니다. $$ x(t)=직류 (DC)+기본파(sin+cos)+고조파들(sin+cos) $$ $$ = a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}cos (k w_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}sin(k w_{0}t) $$ $$ [a_{0}= DC \ 성분] $$ $$ [a,b= 기본파 \ 성분 \ 계수] $$ $$ [a_{k},b_{k}= 고조파 \ 성분 \ 계수] $$ - 푸리에 급수의 수렴 조건 (디리클레(Dirichlet) 조건) - $$ 1. \int_{T}^{} | x(t) |dt 0\\a_{0} & k=0\\ \frac{1}{2}(a_{k}+jb_{k})&k0 \ 일때 $$ $$ | X.. 신호 및 시스템 9 - 신호와 주파수 1. 신호의 주파수 성분 주기신호(주기 : T) = 기본(주기 : T) + 고조파(주기 : XT) 정현파의 스펙트럼 표현 : 양의 주파수 스펙트럼 복소 정현파의 스펙트럼 표현 : 음,양의 주파수 스펙트럼 복소 정현파의 진폭 스펙트럼 = 일반 정현파의 진폭 스펙트럼 / 2 복소 정현파의 위상 스펙트럼 = 일반 정현파의 위상 스펙트럼 (음의 위상스펙트럼은 반대) [정현파 관점] $$ x(t) = Acos(2\pi f_{0}t+ \phi )=Acos(w_{0}t+\phi) $$ [복소 정현파 관점] $$ x(t) = \frac{A}{2} e^{j\phi}e^{j2\pi f_{0}t}+ \frac{A}{2} e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_{0}t} $$ $$ = \frac{A}{2} e^{j\phi}e.. 이전 1 다음
