확률 및 랜덤 프로세스 4 - 확률 이론

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1. 임의의 사건 A의 확률

$$ P(A)= \lim_{N \rightarrow  \infty }  \frac{n}{N}  $$

$$ N : 표본 공간 S의 원소가 발생하는 횟수 $$

$$ n : 사건 A의 원소가 발생하는 횟수 $$

 

1차원에서의 확률 이해

$$ 특정구간의 확률 =  \frac{특정구간}{전체 표본공간 길이}  $$

 

2차원에서의 확률 이해

$$ 특정구간의 확률 =  \frac{특정구간}{전체 표본공간 넓이}  $$

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2. 결합 확률

두 사건 A, B가 모두 발생하는 경우

$$ P(AB)= \lim_{N \rightarrow  \infty }  \frac{ N_{AB} }{N} $$

$$  N_{AB}  : 결합 사건 AB이 발생하는 횟수 $$

$$ N : 설험의 총 실행 횟수 $$

 

ex1)

사건 A : 동전의 앞면이 나오는 경우

사건 B : 주사위의 눈이 짝수

 

결합사건 AB = {(앞,2), (앞,4), (앞,6)} 이므로

$$P(AB)= \frac{3}{12(=2 \times 6)} = \frac{1}{4} $$

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3. 조건 확률

사건 B 발생이 전제되었을 때 사건 A가 발생할 확률

$$ P(A | B)= \frac{P(AB)}{P(B)}  $$

$$  \longrightarrow P(AB)= P(A | B)P(B)=P(B | A)P(A) $$

 

베이즈 법칙

$$ P(A | B)= \frac{P(B | A)P(A)}{P(B)},P(B) \neq 0  $$

 

체인 법칙

$$ P(ABC)=P(A)P(B | A)P(C | AB) $$

(AB=D로 치환하여 베이즈법칙을 사용하며 유도할 수 있습니다.)

 

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4. 독립 사건

사건 A와 사건 B가 각각 관계없이 계산될 때

$$ P(A | B)=P(A) $$

$$ P(AB)=P(A)P(B) $$

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5. 배타 사건

사건 A와 B가 동시에 발생 할 수 없을 때

$$ P(AB)=0 $$

$$ P(A \cup B)=P(A)+P(B) $$

 

(독립 사건과 배타 사건은 함께 일어날 수 없습니다.)

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6. 베르누이 시행

두가지 결과를 가지는 실험을 N번반복

사건 A가 k번 발생할 확률

(사건 A의 발생확률 = p)

 

[이항 확률 법칙]

$$  P_{N}(k)=\begin{pmatrix}
 N\\
 k
 \end{pmatrix} = p^{k}(1-p^{k})^{N-k}  $$

 

[이항계수]

$$ C_{k}^{N} =\begin{pmatrix}
 N\\
 k
 \end{pmatrix} =  \frac{N!}{k!(N-k)!}  $$