확률 및 랜덤 프로세스 6 - 누적 확률 분포와 확률 밀도 함수

 

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1. 누적 확률 분포 함수 (CDF)

 

누적 확률 분포 함수(CDF) : 랜덤 변수 X가 특정 값 x보다 같거나 작을 확률

$$ F_{X}(x) = P(X \leq  x) $$

 

좌) 누적 확률 분포 함수 (CDF)          우) 확률 분포 함수 (PMF)

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2. 이산 랜덤 변수와 연속 랜덤 변수에서의 CDF 와 PDF / PMF

 

이산 랜덤 변수일 때는 한 점에서의 확률이 존재하지만

연속 랜덤 변수일 때는 한 점에서의 확률을 정의할 수 없습니다.

 

예를 들어

주사위 눈의 수에 대한 확률의 경우 이산 랜덤 변수이기 때문에 각 눈에 따른 확률을 정의할 수 있지만

무한개의 점을 갖는 연속 랜덤 변수는 정의가 불가능 합니다.

 

여기서 PDF와 PMF를 구분하여야 하는데

PDF는 확률 밀도 함수이며 연속 확률 변수일 때 사용하며

PMF는 확률 질량 함수이며 이산 확률 변수일 때 사용합니다.

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3. 확률 밀도 함수 (PDF) 와 누적 확률 분포 (CDF) 의 관계

 

$$ p_{X}(x)= \frac{dF_{X}(x)}{dx} $$

$$ F_{X}(x)= \int_{- \infty}^{} p_{X}(x) dx $$

 

PDF는 CDF의 미분 형태 입니다.

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4. 확률 밀도 함수 (PDF)의 특성

 

$$ p_{X}(x) \geq 0 $$

$$  \int_{- \infty}^{\infty} p_{X}(x)dx=1  $$

$$ F_{X}(x)= \int_{- \infty}^{x} p_{X}( \alpha)d\alpha  $$

$$ P(x_{1}<X \leq x_{2})=\int_{x_{1}}^{x_{2}} p_{X}(x)dx  $$