확률 및 랜덤 프로세스 5 - 랜덤 변수

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1. 랜덤 변수

확률 개념을 쉽게 적용할 수 있게

랜덤한 형태로 발생하는 실험으로부터 얻은 결과에 대해 실수에 대응시키는 함수 or 규칙

 

랜덤 변수 : 대문자로 표기

랜덤 변수 X가 갖는 실제 값 : 소문자로 표기

 

ex1)

일 대 다 대응

$$ X =\begin{cases}0 & 주사위의 눈이 홀수\\1 & 주사위의 눈이 짝수\end{cases}  $$

$$  S_{X}(랜덤 변수 X의 표본공간) =(0,1) $$

$$  S_{i}=(1,2,3,4,5,6) $$

$$  x_{i}=(0,1) $$

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2. 이산 랜덤 변수와 연속 랜덤 변수

이산 랜덤 변수 : 랜덤 변수 의 값이 이산값

ex) 동전의 앞, 뒷면

 

연속 랜덤 변수 : 랜덤 변수의 값이 연속값

ex) 백색 가우시안 잡음(AWGN)의 크기

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3. 랜덤 변수의 확률

$$ P( S_{i} )=P( X(S_{i})=( x_{i} ) )=P(X=x_{i})= P_{X}(x_{i})  $$

$$ \therefore P( S_{i} )= P_{X}(x_{i})  $$

 

ex1)

동전의 앞, 뒷면에서 (앞면을 1, 뒷면을 0)

 

$$ P_{X}(X=1)= P, P_{X}(X=0)= P-1 $$

or

$$ P_{X}(1)= P, P_{X}(0)= P-1 $$

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4. 누적 확률 분포 함수 (CDF)

누적 확률 분포 함수(CDF) : 랜덤 변수 X가 특정 값 x보다 같거나 작을 확률

$$  F_{X}(x)=P(X \leq x)  $$

 

확률과 누적 확률 분포 함수 관계

$$  P_{X}(x) =F_{X}(x^{+})-F_{X}(x^{-}) $$

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5. 누적 확률 분포 함수의 특성

$$ 0 \leq F_{X}(x) \leq 1, \;[- \infty  < x <  \infty ]$$

$$  \lim_{x \rightarrow - \infty } F_{X}(x)=0, \lim_{x \rightarrow + \infty } F_{X}(x)=1 $$

$$ F_{X}(x_{1}) \leq F_{X}(x_{2}),[if)\;x_{1} \leq x_{2}] $$

$$  \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}} F_{X}(x)=F_{X}(x_{0}) $$

$$ P(a < X \leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)(=P(X \leq b)-P(X \leq a)) $$

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